Question

如图，在Rt△ABC中，BC=1，∠BAC=30°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，∠C=90°．
（1）求AD、DC的长；
（2）求sin15°、sin75°的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）根据勾股定理可先求得AB和AC，再利用角平分线的性质定理可求得CD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD；
（2）在Rt△ACD中，可得∠DAC=15°，∠ADC=75°，根据正弦函数的定义可求得．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，BC=1，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2，AC=

3

BC=

3

，
∵AD平分∠BAC，
∴

AC

AB

=

CD

BD

，即

3

2

=

CD

DB

，且CD+BD=1，
∴CD=2

3

-3，
在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AD=3

2

-

6

；
（2）在Rt△ACD中，∠DAC=15°，∠ADC=75°，
则sin15°=

CD

AD

=

2 3 -3

3 2 - 6

=

6 - 2

4

，sin75°=

AC

AD

=

3

3 2 - 6

=

6 + 2

4

．

点评：本题主要考查勾股定理及三角函数的定义，利用角平分线的性质定理求得CD是解题的关键．