Question

3．如图，直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别与y轴，x轴交于C，D．
（1）用″＞″，″＜″，″=″号填空，k＜0，b＞0，m＜0．
（2）若A（a，4），B（2，-1），求直线及双曲线的解析式，并求C、D的坐标；
（3）若C（0，4），D（3，0），求AD-BD的值．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数和反比例函数的性质即可得到结论；
（2）把B（2，-1）代入y=$\frac{m}{x}$得到双曲线的解析式：y=$\frac{-2}{x}$，把A（a，4）代入y=$\frac{-2}{x}$得到直线的解析式：y=-2x+3．于是得到结论；
（3）把C（0，4），D（3，0）代入y=kx+b得到y=-$\frac{4}{3}$x+4，解方程组得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{8-3m}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{6-2\sqrt{8-3m}}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{8-3m}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{6+\sqrt{8-3m}}{3}}\end{array}\right.$，过A作AN⊥y轴于N，过B作BM⊥x轴于M，于是得到AN=BM，CN=DM，根据全等三角形的性质得到AC=BD，根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）由一次函数有：k＜0，b＞0，由于双曲线在二四象限，
∴m＜0，
故答案为：＜，＞，＜；
（2）把B（2，-1）代入y=$\frac{m}{x}$得：m=2×（-1）=-2，
∴双曲线的解析式：y=$\frac{-2}{x}$，把A（a，4）代入y=$\frac{-2}{x}$得：a=$\frac{-2}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A（-$\frac{1}{2}$，4），把A（-$\frac{1}{2}$，4），B（2，-1）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k+b=4}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式：y=-2x+3．
当x=0，则y-3，当y=0，则x=$\frac{3}{2}$，C（0，3），D（$\frac{3}{2}$，0）；
（3）把C（0，4），D（3，0）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{m}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{8-3m}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{6-2\sqrt{8-3m}}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{8-3m}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{6+\sqrt{8-3m}}{3}}\end{array}\right.$，
过A作AN⊥y轴于N，过B作BM⊥x轴于M，
∴AN=-$\frac{3-\sqrt{8-3m}}{2}$，CN=$\frac{6-2\sqrt{8-3m}}{3}$-4=$\frac{-6-2\sqrt{8-3m}}{3}$，
∴DM=$\frac{3+\sqrt{8-3m}}{2}$-3=$\frac{-3+\sqrt{8-3m}}{2}$，BM=-（$\frac{6+\sqrt{8-3m}}{3}$），
∴AN=BM，CN=DM，
∴△ACN≌△BDM，
∴AC=BD，
∴AD-BD=AD-AC=CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．