Question

10．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长．

Answer 1

分析 （1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．

解答 解：（1）将A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=x²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0+c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{b=-2}\end{array}\right.$． 
∴抛物线的解析式：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，顶点D（2，-8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=$\frac{1}{2}$（x-2+1）²-8+m，
即：y=$\frac{1}{2}$（x-2+1）²-8+m．它的顶点坐标P（1，m-8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=$\frac{3}{2}$x-6．
当点P在直线AC上时，$\frac{3}{2}$-6=m-8，解得：m=$\frac{7}{2}$；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜$\frac{7}{2}$．
（3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°．

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠NBA=∠OMB．
如图，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
由勾股定理，得AB²=（-2）²+（-6）²=40，
又∵AN=OA-ON=6-2=4，
∴AM₁=40÷4=10，
OM₁=AM₁-OA=10-6=4
OM₂=OM₁=4
AM₂=OA-OM₂=6-4=2．
综上所述，AM的长为10或2．

点评 考查了二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．