Question

5．观察下列等式：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：$\frac{1}{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}$；
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$．

Answer 1

分析 （1）直接把分子分母同时乘以（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$）即可；
（2）把式子中的每一个二次根式分母有理化，找出规律进行计算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}{（3\sqrt{2}-\sqrt{17}）（3\sqrt{2}+\sqrt{17}）}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{17}}{18-17}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{17}$；

（2）原式=$\frac{\sqrt{2}-1}{（1+\sqrt{2}）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}$+$\frac{\sqrt{5}-2}{（2+\sqrt{5}）（\sqrt{5}-2）}$+…+$\frac{\sqrt{2016}-\sqrt{2015}}{（\sqrt{2015}+\sqrt{2016}）（\sqrt{2016}-\sqrt{2015}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1．

点评 本题考查的是分母有理化，先根据题意找出各分母的有理化因式是解答此题的关键．