Question

在△ABC中，∠A=40°：

（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A=n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+

1

2

∠A．
（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC=90°-

1

2

∠A；
（3）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC=

1

2

∠A；
（4）利用以上结论直接得出答案即可．

解答：解：（1）∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A．
当∠A=40°，∠BOC=110°；

（2）∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°-

1

2

∠A．∠BOC=90°-

1

2

∠A．
当∠A=40°，∠BOC=70°．

（3）∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，
即∠BOC=

1

2

∠A．
当∠A=40°，∠BOC=20°；

（4）∠BOC=90°+

1

2

n；∠BOC=90°-

1

2

n；∠BOC=

1

2

n．

点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．