Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC²=BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；
（2）利用相似三角形证明；
（3）利用正方形的性质证明．

解答：证明：（1）如图，连接OD．

∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC；
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴ED=BE．
∴EB=EC，即点E为边BC的中点；

（2）∵AC为直径，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴

AB

BC

=

BC

BD

，
∴BC²=BD•BA；

（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．

点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．