Question

已知抛物线y=2x²-4x+1，
（1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？
（2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？
（3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？
（4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（1，-1），
（1）先确定点（1，-1）关于x轴对称的对应点的坐标，由于关于x轴对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
（2）先确定点（1，-1）关于y轴对称的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
（3）先确定点（1，-1）关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
（4）先确定抛物线y=2x²-4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），再确定顶点（1，-1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标，由于旋转180°后抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式．

解答：解：y=2（x-1）²-1，抛物线的顶点坐标为（1，-1），
（1）点（1，-1）关于x轴对称的对应点的坐标为（1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2（x-1）²+1；
（2）点（1，-1）关于y轴对称的对应点的坐标为（-1，-1），所以原抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2（x+1）²-1；
（3）点（1，-1）关于原点对称的对应点的坐标为（-1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2（x+1）²+1；
（4）抛物线y=2x²-4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），点（1，-1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标为（-1，3），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2（x+1）²+3．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．记住关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标特征．