Question

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F．
（1）若G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，AE=2，求DF的长；
（2）若AE⊥AG，BE⊥DE，点F为AB的中点，求证：FG-EF=BE．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG=

1

2

DF，再根据等边对等角可得∠DAG=∠ADG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE=∠DAG+∠ADG=2∠DAG，从而得到∠AED=∠AGE，再根据等角对等边可得AG=AE，然后求解即可；
（2）过点A作AH⊥DF于H，根据线段中点的定义可得AF=BF，再利用“角角边”证明△AFH和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AH，EF=FH，根据等角的余角相等求出∠ADG=∠ABE，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，从而得到△AEG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AH=GH，再根据FG-FH=GH等量代换即可得证．

解答：（1）解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∵G为DF的中点，
∴AG=DG=

1

2

DF，
∴∠DAG=∠ADG，
由三角形的外角性质，∠AGE=∠DAG+∠ADG=2∠DAG，
∵∠AED=2∠DAG，
∴∠AED=∠AGE，
∴AG=AE，
∵AE=2，
∴DF=2AG=2×2=4；

（2）证明：如图，过点A作AH⊥DF于H，
∵点F为AB的中点，
∴AF=BF，
在△AFH和△BFE中，

∠AFH=∠BFE ∠AHF=∠BEF=90° AF=BF

，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴BE=AH，EF=FH，
∵BE⊥DE，
∴∠ABE+∠BFE=∠ADG+∠AFD=90°，
∴∠ADG=∠ABE，
∵AE⊥AG，
∴∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，

∠BAE=∠DAG AB=AD ∠ADG=∠ABE

，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴AE=AG，
∵AE⊥AG，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AH=GH，
∴GH=BE，
由图可知，FG-FH=GH，
∴FG-EF=BE．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边和等边对等角的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造成全等三角形并二次证明三角形全等．