Question

2．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过$\frac{2}{5}$秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可

解答 解：（1）经过$\frac{2}{5}$秒时，AP=$\frac{2}{5}$cm，BQ=$\frac{2}{5}$cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=3-$\frac{2}{5}$=$\frac{13}{5}$cm，
∴△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$BP•BQ•sin∠B=$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{50}$；

（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=$\frac{PM}{PB}$，
∴PM=PB•sin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×3²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴y与t的关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$，
则S_{四边形APQC}=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴t²-3t+3=0，
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．