Question

7．如图，抛物线y=-x²+ax+b经过点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C，直线DF与x轴垂直，与抛物线交于点D，其横坐标为2，点E与点D关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式和点E的坐标；
（2）连接CD，BD，BC，请求出△BDC的面积；
（3）点M是直线DF上的动点，点N是x轴上的动点，当以点M、N、E为顶点的三角形是等腰直角三角形时，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得D点坐标，根据点关于对称轴对称，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据三角形的面积，可得答案；
（3）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理ON的长即可．

解答 解：（1）将A，B点的坐标代入函数解析式$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b=0}\\{-25+5a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+6x-5，
y=-（x-3）²+4，对称轴是x=3，
当x=2时，y=-2²+2×6-5=3，即D点的坐标是（2，3），
点E与点D关于抛物线的对称轴对称，得
E点坐标（4，3）；

（2）如图1，
CD的解析式为y=4x-5，
当y=0时，x=$\frac{5}{4}$，即F（$\frac{5}{4}$，0），
BF=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
S_△DBC=$\frac{1}{2}$BF（y_D-y_C）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×（3+5）=15；

（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，EM=MN，∠CMN=90°，

则△EDM≌△MFN，
∴DE=MF=2，FN=DM=DE-MF=3-2=1，
NO=OF+FN=2+1=3
∴N（3，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NHM和Rt△MGE，
得Rt△NHM≌Rt△MGE，
∴HM=EG=5，
∵OH=1，
∴ON=NF-OF=5-2=3，
∴N（-3，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得Rt△NKM≌Rt△EHN，
∴MK=NF=HN=3，
∴ON=FN-OF=3-2=1，
∴N（-1，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，

同理得MK=HN=NF=3，
∴ON=OF+FN=2+3=5，
∴N（5，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（3，0）或（-3，0）或（-1，0）或（5，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求出FB的长是解题关键；在（3）中分三种情况分别求得ON的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．