Question

1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．
（Ⅰ） CD的长等于2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ） 若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据勾股定理可求 CD的长；
（Ⅱ）CE与网格线相交，得点M，取格点F，连结CF并延长与BE交于N，连接MN，则线段MN即为所求．

解答 解：（Ⅰ）CD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（Ⅱ）如图，CE与网格线相交，得点M，取格点F，连结CF并延长与BE交于N，连接MN，则线段MN即为所求．
证明：以A为原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），C（1.5，6），E（-5.5，2.5），D（-2.5，4），
∴直线AE的解析式y_AE=-$\frac{5}{11}$x，直线BD的解析式为y_BF=0.5x+5.25，
设N（n，-$\frac{5}{11}$n），M（m，0.5m+5.25），
∴AN²=n²+（-$\frac{5}{11}$n）²=$\frac{143}{121}$n²，
MN²=（m-n）²+（-$\frac{5}{11}$n-0.5n-5.25）²
CM²=（m-1.5）²+（0.5n-0.75）²=1.25（n-1.5）²，
∵AN=NM=MC，
∴$\frac{143}{121}$n²=（m-n）²+（-$\frac{5}{11}$n-0.5n-5.25）²=1.25（n-1.5）²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1.5}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
∴M（-1.5，4.5），N（-3，$\frac{15}{11}$）．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．