Question

3．定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A=$\frac{∠A的对边}{∠C的对边}$=$\frac{BC}{AB}$．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C=30°．
（1）若∠A=45°，求thi A的值；
（2）若thi A=$\sqrt{3}$，则∠A=60或120°；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）根据三角函数值即可得到结果；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△BHC中，sinC=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即BC=2BH．
在Rt△BHA中，sinA=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AB=$\sqrt{2}$BH．
∴thiA=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{2}$；

（2）∵thi A=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，
∴tan30°=$\frac{AB}{BC}$，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=60°，
根据对称性，△ABC是钝角三角形时，∠BAC=120°
故答案为：60或120；

（3）在Rt△ABC中，thiA=$\frac{BC}{AB}$．
在Rt△BHA中，sinA=$\frac{BH}{AB}$．
在Rt△BHC中，sinC=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即BC=2BH．
∴thiA=2sinA．

点评 本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．