题目内容
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，（1）求证：AC=BD；
（2）若sinC=
| 12 |
| 13 |
考点：解直角三角形
专题：计算题
分析：（1）根据高的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，则分别利用正切和余弦的定义得到tanB=
，cos∠DAC=
，再利用tan∠B=cos∠DAC得到
=
，所以AC=BD；
（2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC=
=
，可设AD=12k，AC=13k，再根据勾股定理计算出CD=5k，由于BD=AC=13k，于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36，解得k=2，所以AD=24．
| AD |
| BD |
| AD |
| AC |
| AD |
| BD |
| AD |
| AC |
（2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC=
| AD |
| AC |
| 12 |
| 13 |
解答：（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，tanB=
，
在Rt△ACD中，cos∠DAC=
，
∵tan∠B=cos∠DAC，
∴
=
，
∴AC=BD；
（2）解：在Rt△ACD中，sinC=
=
，
设AD=12k，AC=13k，
∴CD=
=5k，
∵BD=AC=13k，
∴BC=BD+CD，
∴13k+5k=36，解得k=2，
∴AD=12×2=24．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，tanB=
| AD |
| BD |
在Rt△ACD中，cos∠DAC=
| AD |
| AC |
∵tan∠B=cos∠DAC，
∴
| AD |
| BD |
| AD |
| AC |
∴AC=BD；
（2）解：在Rt△ACD中，sinC=
| AD |
| AC |
| 12 |
| 13 |
设AD=12k，AC=13k，
∴CD=
| AC2-AD2 |
∵BD=AC=13k，
∴BC=BD+CD，
∴13k+5k=36，解得k=2，
∴AD=12×2=24．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
练习册系列答案
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