Question

一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，

EF

的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是

EF

的中点，则木棒MN的长度为

 

m．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,正方形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，证得四边形BGOH是正方形，然后证得OB经过点P，根据勾股定理求得OB的长，因为半径OP=1，所以BP=2

2

-1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中点，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．

解答：解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，

∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，
∴四边形BGOH是矩形，
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，
∴OG=OH=2，
∴矩形BGOH是正方形，
∴∠BOG=∠BOH=45°，
∵P是

EF

的中点，
∴OB经过P点，
在正方形BGOH中，边长=2，
∴OB=2

2

，
∵OP=1，
∴BP=2

2

-1，
∵p是MN与⊙O的切点，
∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BGOH的对角线，
∴∠OBG=∠OBH=45°，
在△BPM与△BPN中

∠OBG=∠OBH=45° ∠BPM=∠BPN BP=BP

∴△BPM≌△BPN（ASA）
∴MP=NP，
∴MN=2BP，
∵BP=2

2

-1，
∴MN=2（2

2

-1）=4

2

-2，
故答案为：4

2

-2

点评：本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，O、P、B三点共线是本题的关键．