Question

（2013•吉安模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作∠BPE=45°．
 （1）求证：当PC=AB时，PA=EC； 
 （2）当点P是AC上任意点时，设PA=x，BE=y，求y与x的函数关系式；
 （3）是否存在D，P，E三点在同一直线的情况？如果存在，求此时BP+PE的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过证明△ABP≌△CPE（AAS）可以证得PA=EC；
（2）首先根据勾股定理求得AC=4

2

；然后通过“两角法”证得△ABP∽△CPE，则该相似三角形的对应边成比例：

AB

CP

=

AP

CE

，把相关线段的长度代入比例式并整理得到y=

1

4

x²-

2

x+4（0＜x＜4

2

）；
（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况．
如图2，易证△ABP≌△ADP（SAS），则对应边、对应角相等：BP=DP，∠3=∠4．由∠1=∠7=45°、三角形内角和定理及平角的定义求得∠5=∠3，所以AB=AP=4．再利用（2）中的关系式得到：BE=y=8-4

2

，EC=4-BE=4

2

-4，由BP=DP得到：BP+PE=

EC2+CD2

=

(4 2 -4)2+16

=4

4-2 2

．

解答：（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，∠1=45°，
∠6=45°．
∵∠4=∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠2=∠5，
在△ABP与△CPE中，

∠1=∠6 AB=CP ∠2=∠5

，
∴△ABP≌△CPE（AAS），
∴PA=EC；

（2）如图1，当点P是AC上任意一点时．
∵AB=BC=4，
∴AC=4

2

，
∴PC=4

2

-x，EC=4-y，
∵由（1）知，∠1=∠6，∠2=∠5，
∴△ABP∽△CPE，
∴

AB

CP

=

AP

CE

，即

4

4 2 -x

=

x

4-y

，
则y=

1

4

x²-

2

x+4，即y与x的函数关系式是：y=

1

4

x²-

2

x+4（0＜x＜4

2

）；

（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况．
如图2，在△ABP与△ADP中，

AB=AD ∠1=∠2 AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，∠3=∠4．
∵∠1=∠7=45°，
∴∠+∠3+∠5=∠4+∠3+∠7=180°，
∴∠5=∠4，∴∠5=∠3，
∴AB=AP=4．
由（2）知，BE=y=

1

4

x²-

2

x+4=

1

4

×16-

2

×4+4=8-4

2

，
EC=4-BE=4

2

-4，
由BP=DP得到：BP+PE=DE=

EC2+CD2

=

(4 2 -4)2+16

=4

4-2 2

．

点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点．难度较大，解题时，注意找准全等三角形的对应边和对应角．