题目内容

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}$AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）请完成上述尺规作图．
（2）∠ADE=90°；
（3）AE=EC；（填“=”“＞”或“＜”）依据是线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
（4）当AB=3，BC=4时，△ABE的周长=7．
（5）若∠C=30°，则图中等于60°的角有4个．

分析 （1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）、（3）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（4）根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，进而可得出结论；
（5）先由三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图所示；

（2）∵由图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°．
故答案为：90；

（3）∵由图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC．
故答案为：=，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；

（4）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+（CE+BE）=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7；

（5）∵∠C=30°，∠B=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°．
∵AE=CE，
∴∠C=∠CAE=30°，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=30°+30°=60°；
∵∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-30°=120°，AE=CE，
∴∠AED=∠CED=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴图中等于60°的角有：∠BAC，∠AEB，∠AED，∠CED共4个．
故答案为：4．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

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10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
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