如图①所示.直线L:y=mx+5m与x轴负半轴.y轴正半轴分别交于A.B两点．(1)当OA=OB时.试确定直线L解析式,的条件下.如图②所示.设Q为AB延长线上一点.连接OQ.过A.B两点分别作AM⊥OQ于M.BN⊥OQ于N.若AM=4.MN=7.求BN的长,(3)当M取不同的值时.点B在y轴正半轴上运动.分别以OB.AB为边在第一.第二象限作等腰直角△OBF和等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线L解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
（3）当M取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．

分析（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA=OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式；
（2）由OA=OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．

解答解：（1）如图1中，

∵直线L：y=mx+5m，
∴A（-5，0），B（0，5m），
由OA=OB，得5m=5，m=1，
∴直线解析式为：y=x+5；

（2）如图2中，

在△AMO与△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BON}\\{∠AMO=∠BNO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，BN=OM，
∵MN=7，
∴OM=3，
∴BN=OM=3．

（3）结论：PB的长为定值．理由如下，
如图3中，作EK⊥y轴于K点，

∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK，
在△AOB和△BKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BKE=∠AOB=90°}\\{∠ABO=∠BEK}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF，
在△EKP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠PBF=90°}\\{∠KPE=∠BPF}\\{EK=FB}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．