Question

7．如图，直线y=2x+1分别交于x、y轴于点A、C．P是该直线与双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的交点，PB⊥x轴，B为垂足，设点M与点P在同一个反比例函数的图象上，且点M在直线PB在右则，作MN⊥x轴，N为垂足，当△MNB与△AOC相似时，点M的坐标是（$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，$\sqrt{7}$-1）或（3，1）．

Answer 1

分析 根据一次函数解析式求出点A、C的坐标，解方程组求出点P的坐标，分△MNB∽△AOC、△MNB∽△COA两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：对于直线y=2x+1，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=-$\frac{1}{2}$，
则点A的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），点C的坐标为（0，1），
∴OA=$\frac{1}{2}$，OC=1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（舍去），
则OB=1，
设点M的坐标为（x，$\frac{3}{x}$），
当△MNB∽△AOC时，$\frac{MN}{OA}$=$\frac{BN}{OC}$，
即$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{x-1}{1}$，
解得，x₁=2，x₂=-2（舍去），
则点M的坐标为（3，1）；
当△MNB∽△COA时，$\frac{MN}{OC}$=$\frac{BN}{OA}$，
即$\frac{\frac{3}{x}}{1}$=$\frac{x-1}{\frac{1}{2}}$，
解得，x₁=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）
则点M的坐标为（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{7}$-1），
故答案为（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{7}$-1）或（3，1）．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．