Question

3．如图．大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼与塔间的平地E处测得塔顶的仰角为60°，楼顶的仰角为45°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为30°，求塔CD的高度及大楼与塔之间的距离BD的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}≈$1.41，$\sqrt{3}≈$1.73）

Answer 1

分析 设CP=x，得出AP=$\sqrt{3}$x、DE=$\sqrt{3}$x-16，根据tan$∠CED=\frac{CD}{DE}$可得$\sqrt{3}$=$\frac{x+16}{\sqrt{3}x-16}$，解之得出x的值，代入CD=x+16、BD=AP=$\sqrt{3}$x可得答案．

解答 解：如图，

由题意知∠BAE=∠AEB=45°、∠CED=60°、∠CAP=30°，AB=16米，
∴AB=BE=PD=16，
设CP=x，
在△ACP中，AP=$\frac{CP}{tan∠CAP}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$x，
∴DE=BD-BE=AP-BE=$\sqrt{3}$x-16，
在Rt△CDE中，由tan$∠CED=\frac{CD}{DE}$可得$\sqrt{3}$=$\frac{x+16}{\sqrt{3}x-16}$，
解得：x=8+8$\sqrt{3}$，
∴CD=x+16=24+8$\sqrt{3}$≈37.8，BD=AP=$\sqrt{3}$x=24+8$\sqrt{3}$≈37.8，
答：塔CD的高度约为37.8米，大楼与塔之间的距离BD的长度约为37.8米．

点评 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．