Question

2．一副直角三角板按如图1所示摆放一起，使等腰直角三角板DEF的直角顶点F与另一块直角三角板ABC的锐角顶点B（∠B=60°）重合，直角边BC与EF重合．
（1）此时两块直角三角板的斜边AB与DE的夹角（夹角指锐角或直角）是75°；
（2）将等腰直角三角板绕点F以每秒旋转3°的角速度顺时针方向旋转至△D′E′F，如图2，设旋转时间为t（秒）．
①当t=5时，AB与D′E′的夹角为90°；
②当AB与D′E′首次出现平行时，如图3，求t的值；
③当0≤t≤30时，求AB与D′E′的夹角范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，设AB与DE交于点O．在△BOE中利用三角形内角和定理即可求解；
（2）①如图2，当t=5时，∠CBE′=15°，∠ABE′=∠ABC-∠CBE′=45°．设AB与D′E′交于点O′．在△BO′E′中利用三角形内角和定理即可求解；
②如图3，由平行线的性质得出∠ABE′=∠E′=45°，则∠CBE′=∠ABC+∠ABE′=105°，进而求出t的值；
③由①可知，t=5时，AB与D′E′的夹角取最大值90°，根据题意可知t=30时取最小值．如图4，当t=30时，∠CBE′=90°，∠ABE′=∠CBE′-∠ABC=30°．设BA的延长线与D′E′的延长线交于点O′．在△BO′E′中利用三角形内角和定理即可求解．

解答 解：（1）如图1，设AB与DE交于点O．
∠1=180°-∠E-∠ABC=180°-45°-60°=75°．
故答案为75°；

（2）①如图2，当t=5时，∠CBE′=15°，
∴∠ABE′=∠ABC-∠CBE′=60°-15°=45°．
设AB与D′E′交于点O′．
∠2=180°-∠E′-∠ABE′=180°-45°-45°=90°．
故答案为90°；

②如图3，∵AB∥D′E′，
∴∠ABE′=∠E′=45°，
∴∠CBE′=∠ABC+∠ABE′=60°+45°=105°，
∴t=105÷3=35°；

③∵当0≤t≤5时，AB与D′E′的夹角由75°逐渐增大到90°；当5＜t≤35时，AB与D′E′的夹角由90°逐渐减小到0°；
∴当0≤t≤30时，AB与D′E′的夹角最大值为90°，t=30取最小值．
如图4，当t=30时，∠CBE′=90°，
∴∠ABE′=∠CBE′-∠ABC=90°-60°=30°．
设BA的延长线与D′E′的延长线交于点O′．
∠3=180°-∠BE′O′-∠ABE′=180°-135°-30°=15°，
∴当0≤t≤30时，AB与D′E′的夹角范围是15°～90°．

点评 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，利用数形结合思想是解题的关键．