Question

如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：几何图形问题,探究型

分析：不变化．可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长的比是AE：MD，设AM=x，根据勾股定理可以用x表示出MD的长与△MAE的周长，根据周长的比等于相似比，即可求解．

解答：解：△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，C_△MAE=AE+AM+EM=AE+BE+AM=AB+AM=4+x，
在Rt△AEM中，AE²+AM²=EM²，
即AE²+x²=（4-AE）²，
整理得：AE²+x²=16-8AE+AE²，
∴AE=

1

8

（16-x²），
又∵∠EMP=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴C_△PDM：C_△MAE=MD：AE，
∴C_△PDM=C_△MAE•

MD

AE

=（4+x）•

4-x

1 8 (16-x2)

=8．
∴△PDM的周长保持不变．

点评：此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．