Question

2．在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线．
（1）如图①，CG⊥AD于G，BG的延长线交AE于H，求证：AH=EH；
（2）如图①，在（1）的条件下，若AE=2AD，BE=5BC，则tan∠AHB=$\frac{9}{10}$；
（3）如图②，点M是DE的中点，BE=5BC=10，求MD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CG交AB于M，构建相等线段CG、MG．利用AE∥CG的性质得到比例线段$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BG}{BH}$=$\frac{MG}{AH}$，易推知结论；
（2）欲求tan∠AHB的值，只需得到$\frac{AG}{AH}$的值即可；
（3）利用（2）的计算结果来求MD的长度即可．

解答 证明：（1）如图1，延长CG交AB于M，
∵AD平分∠BAC，CG⊥AD，
∴CG=MG．
∵AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线，
∴∠HAG=90°，
∴AE∥CG，
∵$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BG}{BH}$=$\frac{MG}{AH}$，
∴AH=EH．

（2）由角平分线定理得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$．
∵AC=AM，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$．
又$\frac{AM}{AB}$=$\frac{EC}{EB}$，BE=5BC，
∴$\frac{AM}{AM}$=$\frac{EC}{EB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{4}{5}$．
设CD=4，DB=5，
则EC=36，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{9}$，
∵AH=EH，AE=2AD，
∴AH=AD，
∴tan∠AHB=$\frac{AG}{AH}$=$\frac{9}{10}$；
故答案是：$\frac{9}{10}$；

（3）由（2）可知：BE=45a=10，a=$\frac{2}{9}$．
∴MD=20a=$\frac{40}{9}$．

点评 本题考查了三角形综合题．综合运用了平行线截线段成比例，锐角三角函数的定义以及三角形角平分线的性质，需要学生对所学知识的系统的掌握与运用的能力．