Question

20．如图，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线．
（2）连接OE，若BC=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出CD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=120°，∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，由三角函数求出CE即可．

解答 （1）证明：连接OD，CD，如图所示：
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠ACB=120°，
∵AC=BC，AD=BD，
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
∵DE⊥AC，
∴CE=CD•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、三角函数的运用等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．