Question

2．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=5，∠ABC=60°，E是AB边上一点，AE：BE=2：3，点F是射线BC上一点，联结EF交射线DC于点G，
（1）求BC的长；
（2）若点F在BC的延长线上，设CF=x，$\frac{DG}{CG}$=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当CF=2时，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DM∥AB交BC于点M，首先证明Rt△ABH≌Rt△DCQ（HL），最后求出BC的长；
（2）延长FE交DA的延长线于点O，然后根据相似三角形的性质进行解答即可；
（3）利用当F在BC的延长线上时，以及当F在线段BC上时，分别得出答案．

解答 （1）证明：如图1，分别过点A、D作AH⊥BC，DQ⊥BC，垂足分别为H、Q，
由题意可得：AH=QD，
在Rt△ABH和Rt△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=QD}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△DCQ（HL），
∴BH=CQ，
∵∠ABC=60°，AB=CD=AD=5，
∴BH=CQ=$\frac{5}{2}$，
∴BC=10；

（2）解：如图2，延长DA和FE 相交于点P，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AP}{FB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{2}{3}$，
∵BC=10，CF=x，
∴BF=10+x，
∴$\frac{AP}{10+x}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=$\frac{2}{3}$（10+x），
又∵AD∥BC，$\frac{DG}{CG}$=y，
∴$\frac{DP}{CF}$=$\frac{DG}{CG}$=y，
y=$\frac{\frac{2}{3}（10+x）+5}{x}$=$\frac{2x+35}{3x}$（x＞0）；

（3）解：如图2，当F在BC的延长线上时，
∵CF=2，
∴y=$\frac{2×2+35}{6}$=$\frac{13}{2}$，
∴$\frac{DG}{5-DG}$=$\frac{13}{2}$，
∴DG=$\frac{13}{3}$，
如图3，当F在线段BC上时，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BE}$，
∵CF=2，AE：BE=2：3，
∴$\frac{AP}{8}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=$\frac{16}{3}$，
∵$\frac{DP}{CF}$=$\frac{DG}{CG}$，
∴$\frac{\frac{16}{3}+5}{2}$=$\frac{DG}{DG-5}$，
∴DG=$\frac{31}{5}$，
综上所述DG的值为：$\frac{13}{3}$和$\frac{31}{5}$．

点评 此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定和性质，对边三角形的判定和性质，关键是分析题意作出辅助线．