Question

20．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b-5）²=0，规定A、B两点之间的距离记作AB=|a-b|
（1）求A、B两点之间的距离AB；
（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当PA+PB=10时，求x的值；
（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于（1）PN+PM的值，（2）|PN-PM|的值．探究（1）（2）中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值与平方的和为0，可得绝对值、平方同时为0，根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式，可得答案；
（3）根据分类讨论，可得，|PN-PM|的值，可得答案．

解答 解：（1）∵|a+2|+（b-5）²=0，
∴a=-2，b=5，
∴AB=|a-b|=|-2-5|=7；
（2）如图1，若点P在A、B之间
PA=|x-（-2）|=x+2，
PB=|x-5|=5-x．
∴PA+PB=x+2+5-x=7＜10
∴点P在A、B之间不合题意，舍去；
如图2，若点P在AB的延长线上时
PA=|x-（-2）|=x+2，
PB=|x-5|=x-5．
∵PA+PB=10，
∴x+2+x-5=10，
解，得x=$\frac{13}{2}$；
如图3，若点P在AB的反向延长线上时
PA=|x-（-2）|=-2-x
PB=|x-5|=5-x．
∵PA+PB=10，
∴-2-x+5-x=10，
解，得x=-$\frac{7}{2}$．
综上所述，当PA+PB=10时，x值为$\frac{13}{2}，-\frac{7}{2}$．
（3）（2）的值是一个常数，理由如下：
当点P在线段AB的右侧时，如图
有PN-PM=$\frac{1}{2}PB-\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}（PB-PA）=\frac{1}{2}AB=-\frac{7}{2}$
当点P线段AB的左侧时，如图
有PN-PM=$\frac{1}{2}PB-\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}（PB-PA）=\frac{1}{2}AB=\frac{7}{2}$．
∴点P在线段AB之外时，总有|PN-PM|=$\frac{7}{2}$

点评 本题考查数轴上两点间的距离公式，正确运用公式是解决此题的关键；同时注意运用分类讨论思想．