Question

4．阅读与观察：
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．
如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中各项的系数等等．
（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）
（2）计算：99³+3×99²+3×99+1；
（3）请你直接写出（a+b）⁴的展开式．

Answer 1

分析 （1）从每行的数字个数和数字之和可得规律；
（2）根据图中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中各项的系数即可求得；
（3）根据（a+b）ⁿ展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）^n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和即可得出．

解答 解：（1）一、∵第1行有1个数字，数字之和为1=2⁰，
第2行有2个数字，数字之和为2=2¹，
第3行有3个数字，数字之和为4=2²，
第4行有4个数字，数字之和为8=2³，
…
第n行有n个数字，数字之和为2^n-1；
二、每个数都等于它上方两数之和；
（2）99³+3×99²+3×99+1=（99+1）³=100³=10⁶；

（3）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．

点评 本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）ⁿ展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）^n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．