Question

如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．

（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；

（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）

（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S_△ABC=4，则BE=　8　，CD=　4或8　．

Answer 1

（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，

∵CF∥AB，

∴四边形BMFC是平行四边形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

在△MEF与△CDA中，

，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF．

 

（2）如图②，CF+CD=BE，如图3，CF﹣CD=BE；

 

（3）如图②图③，BE=8，CD=4或8．