Question

5．如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以点O为圆心，6为半径的优弧$\widehat{MN}$分别交OA、OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧$\widehat{MN}$上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；
（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．

解答 （1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP′}\\{OP=OP′}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，
∵AT是⊙O的切线，
∴∠ATO=90°，
∴AT=$\sqrt{O{A}^{2}-O{T}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵$\frac{1}{2}$×OA×TH=$\frac{1}{2}$×AT×OT，
即$\frac{1}{2}$×10×TH=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：TH=$\frac{24}{5}$，即点T到OA的距离为$\frac{24}{5}$；

（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，
当Q点在优弧$\widehat{MN}$右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-70°=20°，
综上所述：当∠BOQ的度数为20°或160°时，△AOQ的面积最大．

点评 本题考查了圆的综合题、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，第二个问题的关键是利用面积法求出线段TH，第三个问题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考压轴题．