Question

19．已知AB为直径，CD⊥AB，点E在OA上，CE的延长线交⊙O于F，连FA，CA．
（1）如图1，若CD为直径，E为OA中点，求tan∠ACF的值；
（2）如图2，当CD与CF重合，弦AG交BC于M，连CD交BC边于N，交AB于K，连MK，求证：MK⊥AB．
（3）在（2）问条件下，如图3，弦AG平分半径OC于H，$\frac{AE}{OE}$=$\frac{2}{3}$，AB=10，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EM⊥AC于M，设⊙O的半径为2a．想办法求出EM，CM．根据tan∠ACF=$\frac{EM}{CM}$计算即可．
（2）先证明△AGK∽△ABM，得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AK}{AM}$，即$\frac{AG}{AK}$=$\frac{AB}{AM}$，又∠MAK=∠BAG，推出△AMK∽△ABG，推出∠AKM=∠AGB=90°即可证明．
（3）如图3中，作HG⊥AB于G．首先证明tan∠MAK=$\frac{HG}{AG}$=$\frac{2}{3.5}$=$\frac{4}{7}$，tan∠MBK=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，设MK=x，则AK=$\frac{7}{4}$x，BK=2x，可得方程$\frac{7}{4}$x+2x=10，推出x=$\frac{8}{3}$，再求出BC、BM、CM，由MK∥CD，得$\frac{MN}{CN}$=$\frac{MK}{CD}$，设MN=y，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作EM⊥AC于M，设⊙O的半径为2a．

∵AB，CD是直径，AB⊥CD，
∴∠A=45°，
∵AE=OE=a，
∴AM=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$a，
∴CM=CA-AM=2$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a，
∴tan∠ACF=$\frac{EM}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{3}$．

（2）如图2中，连接BG．

∵AB是直径，AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，∠AGB=90°
∴∠AGK=∠ABM，∵∠GAK=∠BAM，
∴△AGK∽△ABM，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AK}{AM}$，
∴$\frac{AG}{AK}$=$\frac{AB}{AM}$，∴∠MAK=∠BAG，
∴△AMK∽△ABG，
∴∠AKM=∠AGB=90°，
∴MK⊥AB．

（3）如图3中，作HG⊥AB于G．

∵OA=OB=5，AE+EO=2：3，
∴AE=2，OE=3，
在Rt△CEO中，CE=DE=$\sqrt{C{O}^{2}-O{E}^{2}}$=4，
∵CH=HO，HG∥CE，
∴EG=GO=1.5，HE=$\frac{1}{2}$CE=2，
∴tan∠MAK=$\frac{HG}{AG}$=$\frac{2}{3.5}$=$\frac{4}{7}$，tan∠MBK=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
设MK=x，则AK=$\frac{7}{4}$x，BK=2x，
∴$\frac{7}{4}$x+2x=10，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴MK=$\frac{8}{3}$，BK=$\frac{16}{3}$，BM=$\sqrt{M{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{5}$，
∵BC=$\sqrt{E{B}^{2}+E{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CM=BC-BM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，设MN=y，
∵MK∥CD，
∴$\frac{MN}{CN}$=$\frac{MK}{CD}$，
∴$\frac{y}{y+\frac{4}{3}\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{8}$，
∴y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程思想思考问题，本题的突破点是求出线段MK的长，属于中考压轴题．