Question

12．如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为${C}_{△O{O}_{1}{O}_{2}}$，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO₁、四边形O₁O₂HG、四边形OO₂IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO₁O₂=60°=∠ABC、∠O₁OO₂=90°，从而知△OO₁O₂∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）如图①所示，射线OC即为所求；


（2）如图，圆心O的运动路径长为${C}_{△O{O}_{1}{O}_{2}}$，

过点O₁作O₁D⊥BC、O₁F⊥AC、O₁G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O₂B，
过点O₂作O₂H⊥AB，O₂I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=$\frac{BC}{tan30°}$=$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=9$\sqrt{3}$，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C_△ABC=9+9$\sqrt{3}$+18=27+9$\sqrt{3}$，
∵O₁D⊥BC、O₁G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O₁BD和Rt△O₁BG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=BG}\\{{O}_{1}B={O}_{1}B}\end{array}\right.$，
∴△O₁BD≌△O₁BG（HL），
∴∠O₁BG=∠O₁BD=30°，
在Rt△O₁BD中，∠O₁DB=90°，∠O₁BD=30°，
∴BD=$\frac{{O}_{1}D}{tan30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OO₁=9-2-2$\sqrt{3}$=7-2$\sqrt{3}$，
∵O₁D=OE=2，O₁D⊥BC，OE⊥BC，
∴O₁D∥OE，且O₁D=OE，
∴四边形OEDO₁为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO₁为矩形，
同理四边形O₁O₂HG、四边形OO₂IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O₁GH=∠CDO₁=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO₁D=120°，
又∵∠FO₁D=∠O₂O₁G=90°，
∴∠OO₁O₂=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O₁OO₂=90°，
∴△OO₁O₂∽△CBA，
∴$\frac{{C}_{△O{O}_{1}{O}_{2}}}{{C}_{△ABC}}$=$\frac{{O}_{1}{O}_{2}}{BC}$，即$\frac{{C}_{△O{O}_{1}{O}_{2}}}{27+9\sqrt{3}}$=$\frac{7-2\sqrt{3}}{9}$，
∴${C}_{△O{O}_{1}{O}_{2}}$=15+$\sqrt{3}$，即圆心O运动的路径长为15+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查作图-复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．