Question

如图（1），点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=α°，∠BOC=β°
（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD，如图（2）所示，求证：OD=OC；
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图（3）所示，求证：OA=DE；
（3）在（2）的基础上，当α=

120°

，β=

120°

 时，点B、O、D、E在同一直线上．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到CO=CD，∠DOC=60°，根据等边三角形的判定方法得到△COD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质得到CA=CE，∠ACE=∠BCA=60°，而∠DCO=60°，则易得∠ACO=∠ECD，然后根据“SAS”可判断△ACO≌△ECD，于是有OA=DE；
（3）根据等边三角形的性质由△COD是等边三角形得到∠DOC=60°，∠ODC=60°，当点B、O、D、E在同一直线上，则β=120°，∠EDC=120°，再根据
△ACO≌△ECD得到∠AOC=∠EDC=120°，然后利用周角的定义计算α．

解答：（1）证明：∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OD=OC；

（2）证明：∵等边△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，
∴CA=CE，∠ACE=∠BCA=60°，
∵∠DCO=60°，
∴∠DOC-∠ACD=∠ACE-∠ACD，
∴∠ACO=∠ECD，
在△ACO和△ECD中，

CO=CD ∠ACO=∠ECD CA=CE

，
∴△ACO≌△ECD（SAS），
∴OA=DE；

（3）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠DOC=60°，∠ODC=60°，
∵B、O、D、E点共线，
∴β=180°-∠DOC=120°，∠EDC=180°-∠ODC=120°，
∵△ACO≌△ECD，
∴∠AOC=∠EDC=120°，
∴α=360°-∠AOC-β=120°．
故答案为120°，120°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质．