Question

19．设m²=n+2，n²=m+2，且m≠n，
（1）求证：m+n=-1；
（2）求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值；
（3）求m³+n³的值．

Answer 1

分析 （1）利用作差法和平方差公式进行解答；
（2）由已知两式相加，得m²+n²=m+n+4，即（m+n）²-2mn=m+n+4，将m+n=-1代入，即可得出mn=-1，进一步整理得出答案即可；
（3）把m²=n+2，n²=m+2代入整理，进一步把得出m+n，mn的数值代入求得答案即可．

解答 （1）证明：∵m≠n，
∴m-n≠0，
∵m²=n+2，n²=m+2，
∴m²-n²=n-m，则（m+n）（m-n）=-（n-m）．
则m+n=-1；

（2）由已知两式相加，得m²+n²=m+n+4，
即（m+n）²-2mn=m+n+4，
将m+n=-1代入，得
1-2mn=-1+4，
mn=-1．
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=1．

（3）∵m²=n+2，n²=m+2，
∴m³+n³=m（n+2）+n（m+2）=2mn+2（m+n）=-4．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．