题目内容
10．
如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；
（2）图形中全等的三角形只有两对；
（3）BE+BF=$\sqrt{2}$OA；
（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，
正确的结论有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2 个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 （1）（3）（4）正确．只要证明△BOE≌△COF，即可解决问题，（2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误．
解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，ABC=90°，∠BAO=∠ABO=∠OBC=45°，AC⊥BD，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴△EOF是等腰直角三角形，故（1）正确，
∴BE+BF=CF+BF=BC=$\sqrt{2}$OA，故（3）正确，
∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=$\frac{1}{4}$S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD=4S四边形OEBF故（4）正确；
图中全等三角形有△BOE≌△COF，△AOB≌△AOD≌△DOC≌△BOC，故（2）错误．
故选C．
点评 本题考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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| A． | 如果增加条件AC=A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′（SAS） | |
| B． | 如果增加条件BC=B′C′，那么△ABC≌△A′B′C′（SAS） | |
| C． | 如果增加条件∠B=∠B′，那么△ABC≌△A′B′C′（ASA） | |
| D． | 如果增加条件∠C=∠C′，那么△ABC≌△A′B′C′（AAS） |
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