Question

6．如图，平面直角坐标系中，B（-4，0），C为BO的中点，∠BAO=30°．
（1）求AB的长；
（2）点E在直线AB上，把线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，点D是点E的对应点，点E的横坐标为t，点D的横坐标为d，求d与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点E关于CD的对称点为F，连接BF、OF，当△OBF为等腰三角形时，求d的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABO中，根据OB=4，∠BAO=30°解直角三角形即可．
（2）如图1中，作CM⊥AB于M，DN⊥OB于M．求出直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，设E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），由△CEM≌△DCN，推出DN=CM，CN=EM，由BC=2，E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），推出BM=1，BE=-8-2t，EM=-7-2t，推出CN=BM=-7-2t，推出ON=-5-2t，即可解决问题．
（3）分两种情形①如图2中，当点F在AB上时，利用中点坐标公式由C（-2，0），D（2t+5，$\sqrt{3}$），E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），推出E关于CD的对称点F点的坐标为（t+3，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），推出tan∠FOB=$\frac{-3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{-t-3}$=$\sqrt{3}$，推出∠FOB=60°，由∠FBO=60°，推出△FBO是等边三角形，由此即可解决问题．②如图3中，当OF=OB时，先求出点F坐标，列出方程求出t即可．

解答 解：（1）∵B（-4，0），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，OB=4，
∴AB=2OB=8．

（2）如图1中，作CM⊥AB于M，DN⊥OB于M．

∵A（0，4$\sqrt{3}$），B（-4，0），
∴直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，设E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），
∵∠DCE=∠ABC=60°，
∴∠DCN+∠BCE=∠BCE+∠CEM，
∴∠CEM=∠DCN，
在△CEM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CME=∠DNC}\\{∠CEM=∠DCN}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CEM≌△DCN，
∴DN=CM，CN=EM，
∵BC=2，E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），
∴BM=1，BE=-8-2t，EM=-7-2t，
∴CN=BM=-7-2t，
∴ON=-5-2t，
∴点D坐标（2t+5，$\sqrt{3}$），
∴D点横坐标d=2t+5，

（3）①如图2中，当点F在AB上时，

∵C（-2，0），D（2t+5，$\sqrt{3}$），E（t，$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），
∴E关于CD的对称点F点的坐标为（t+3，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），
∴tan∠FOB=$\frac{-3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{-t-3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠FOB=60°，∵∠FBO=60°，
∴△FBO是等边三角形，
∴F（-2，2$\sqrt{3}$），
∴t+3=-2，
∴t=-5，
∴d=2t+5=-5．

②如图3中，当OF=OB时，

由①可知∠BOF=120°，
∵OB=OF=4，
∴F（2，2$\sqrt{3}$），
∴t+3=2，
∴t=-1，
∴d=2t+5=3．
综上所述，当△OBF为等腰三角形时d的值为-5或3．

点评 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、一次函数、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题体现了数形结合的数学思想，利用中点坐标公式求出点F坐标，发现特殊角，是解题的突破口，属于中考压轴题．