Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，D在AB边上，以BD为直径的半圆与AC相切于点E，连接BE．
（1）试说明：BE平分∠ABC；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线的性质得出OE⊥AC，即可证得OE∥BC，得出∠EBC=∠OEB，因为∠OEB=∠OBE，证得∠OBE=∠EBC，得出结论；
（2）分别求得三角形AOE和扇形的面积，根据S阴影=S△AOE-S扇形ODE即可求得．

解答 （1）证明：连接OE，
∵半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠EBC=∠OEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OBE=∠EBC，
∴BE平分∠ABC；
（2）∵OE⊥AC，∠A=30°，⊙O的半径为6，
∴OE=6，∠AOE=60°，
∴OA=2OE=12，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△AOE-S_扇形ODE=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=18$\sqrt{3}$-6π．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定依据扇形的面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．