Question

设AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，设⊙O的半径是2，当△ACD是等腰三角形时，它的面积是________．

Answer 1

3或
分析：分两种情况考虑：（i）当AC=CD时，根据题意画出相应的图形，如图所示，连接OC，BC，过C作CE⊥AD，由CD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角可得出∠DCB=∠CAD，由AC=CD，利用等边对等角可得∠CDA=∠CAD，等量代换得到∠BCD=∠CDA，由∠CBO为三角形BCD的外角，∠COB为三角形AOC的外角，利用外角性质及等量代换可得∠CBO=∠COB，利用等角对等边可得BC=OC，又OC=OB，可得三角形BOC为边长为2的等边三角形，求出等边三角形的高CE的长，同时得到DB=OB=OA=2，可得AD的长，由AD及AD边上的高CE，利用三角形的面积公式即可求出三角形ACD的面积；
（ii）当AC=AD时，根据题意画出相应的图形，连接BC，OC，过C作CM⊥BD，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与CD垂直，得到一个直角，再由直径所对的圆周角为直角得到一个直角，根据同角的余角相等可得∠ACD=∠OCB，再利用外角性质及等量代换可得∠CAO=∠COA，利用等角对等边可得CO=CA，由OA=OC，可得三角形AOC为边长为2的等边三角形，求出等边三角形的高CM，同时求出AB及BD的长，由三角形BCD的面积减去三角形ABC的面积可求出三角形ACD的面积．
解答：分两种情况考虑：
（i）当AC=CD时，根据题意画出图形如下：

连接OC，BC，过C作CE⊥AD，
∵CD为圆O的切线，
∴∠DCB=∠CAD，
又∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠BCD=∠CDA，
∵∠OBC为△BCD的外角，
∴∠OBC=∠BCD+∠CDA=2∠CDA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠BOC为△AOC的外角，
∴∠BOC=∠OCA+∠CAD=2∠CAD，
∴∠CBO=∠COB，
∴CO=CB，又OC=OB，
∴OC=OB=BC，又圆O的半径是2，
∴△OBC为边长为2的等边三角形，
∴CE=×2=，DB=OB=OA=2，
∴AD=DB+OB+OA=6，
此时S_△ACD=AD•CE=3；
（ii）当AC=AD时，根据题意画出相应的图形，

连接BC，OC，过C作CM⊥BD，
∵AC=AD，∴∠ACD=∠D，
∵∠CAO为△ACD的外角，
∴∠CAO=∠ACD+∠D=2∠ACD，
又∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
又AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ACD=∠OBC，
又∵∠COA为△BOC的外角，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠CAO=∠COA，
∴CO=CA，又OA=OC，
∴OC=OA=AC，又OC=2，
∴△AOC为边长为2的等边三角形，
∴CM=×2=，BO=AO=AD=2，
∴AB=4，BD=6，
∴S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC=BD•CM-AB•CM=3-2=，
综上，△ACD的面积为3或．
故答案为：3或
点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外角性质，以及等边三角形的判定，利用了数形结合、分类讨论及转化的思想，其中根据题意画出相应的图形，连出相应的辅助线是本题的突破点．