Question

如图，△ABC中，M为AC边的中点，E为AB上一点，且AE=

1

4

AB，连接EM并延长交BC的延长线于D，求证：BC=2CD（请用4种方法解决）．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到

AE

EF

=

AM

MC

，加上AM=MC，则AE=EF，由于AE=

1

4

AB，所以EF=

1

4

AB，BF=

1

2

AB，则BF=2EF，然后由CF∥DE得到

BC

CD

=

BF

EF

=2，所以BC=2CD；
方法二：过E作EN∥AC，交BD于N，如图，证明方法与方法一类似；
方法三：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似；
方法四：过E点作EQ∥BD，交AC于Q，如图，证明方法与方法一类似．

解答：证明：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，

∵ME∥CF，
∴

AE

EF

=

AM

MC

，
而M为AC边的中点，
∴AM=MC，
∴AE=EF，
∵AE=

1

4

AB，
∴EF=

1

4

AB，BF=

1

2

AB，
∴BF=2EF，
∵CF∥DE，
∴

BC

CD

=

BF

EF

=2，
∴BC=2CD；
方法二：过E作EN∥AC，交BD于N，如图，

∵EN∥AC，
∴

BE

BA

=

BN

BC

=

EN

AC

，
∵AE=

1

4

AB，
∴BE=

3

4

AB，
∴

BN

BC

=

EN

AC

=

3

4

，
∴BC=4NC，
∵AC=2MC，
∴

EN

MC

=

3

2

，
∵MC∥EN，
∴

DC

DN

=

MC

EN

=

2

3

，
∴DC=2NC，
∴BC=2CD；
方法三：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，

∵PC∥AE，
∴

PC

AE

=

CM

AM

，
而AM=CM，
∴PC=AE，
∵AE=

1

4

AB，
∴CP=

1

4

AB，
∴CP=

1

3

BE，
∵CP∥BE，
∴

CP

BE

=

CD

BD

=

1

3

，
∴BD=3CD，
∴BC=2CD；
方法四：过E点作EQ∥BD，交AC于Q，如图，

∵EQ∥BC，
∴

EQ

BC

=

AQ

AC

=

AE

AB

=

1

4

，
∴BC=4EQ，AC=4AQ，
∵AM=CM，
∴CM=2MQ，
∵EQ∥CD，
∴

CD

EQ

=

MC

QM

=2，
∴CD=2EQ，
∴BC=2CD．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．