Question

13．如图①已知抛物线y=ax²-3ax+c（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，二次函数的对称轴分别与x轴，直线BC交于点E，F，过A作y轴的平行线，与直线BC交于点D，DC：CF=2：3．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）连接CE，若CE平分∠BCO，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点Q，使得以EQ为直径的圆经过点C？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线的对称轴，由平行线分线段成比例定理可求得OA的长，由对称性求得B和A的坐标；
（2）由角平分线和平行线的性质得：CF=EF，设DC=EF=3x，分别表示出BF和BE的长，根据BE=$\frac{5}{2}$列方程可求得x的值，得出C的坐标，代入可求得抛物线的解析式；
（3）如图2，因为C在圆上，且EQ为直径，根据直径所对的圆周角为90°得：∠ECQ=90°，证明△OCE∽△PQC，列比例式可得结论．

解答 解：（1）对称轴为：直线x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∵AD∥OC∥EF，
∴$\frac{DC}{CF}=\frac{AO}{OE}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴AO=1，
由对称性得：BE=AE=$\frac{5}{2}$，
∴A（-1，0），B（4，0）；
（2）如图1，∵CE平分∠BCO，
∴∠OCE=∠ECB，
∵DC∥EF，
∴∠OCE=∠CEF，
∴∠CEF=∠ECB，
∴FC=EF，
设FC=EF=3x，
∵EF∥OC，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{BF}{CF}$=$\frac{5}{3}$，
∴BF=5x，
∴BE=4x，
即4x=$\frac{5}{2}$，x=$\frac{5}{8}$，
∴BC=8x=8×$\frac{5}{8}$=5，
在Rt△OCB中，∴OC=3，
∴C（0，3），
∴c=3，
把A（-1，0）代入抛物线y=ax²-3ax+c中得：a+3a+3=0，
a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3；
（3）存在，
如图2，过Q作QP⊥y轴于P，
∵EQ为圆的直径，C在圆上，
∴∠ECQ=90°，
∴∠ECO+∠PCQ=90°，
∵∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠PCQ=∠OEC，
∵∠OPQ=∠COE=90°，
∴△OCE∽△PQC，
∴$\frac{OC}{PQ}=\frac{OE}{PC}$，
设Q（x，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3），
∴$\frac{3}{x}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3-3}$，
9x²-21x=0，
解得：x₁=0（舍），x₂=$\frac{7}{3}$，
当x=$\frac{7}{3}$时，y=-$\frac{3}{4}$×$（\frac{7}{3}）^{2}$+$\frac{9}{4}$×$\frac{7}{3}$+3=$\frac{25}{6}$，
∴Q（$\frac{7}{3}$，$\frac{25}{6}$）．

点评 本题是二次函数与圆的综合题，考查了抛物线的对称轴公式、对称性、利用待定系数法求二次函数的解析式、圆周角定理，相似三角形的性质和判定，第三问，能利用90°的圆周角所对的弦是直径做出圆是关键，难度适中，是一道难得的压轴题．