Question

10．如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6$\sqrt{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°，解直角三角形求出FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，BM=$\frac{FM}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$CF，根据BC=CM+BM=6$\sqrt{2}$求出即可．

解答 解：过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°，
∵∠ECD=45°，
∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM=CF×sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠FBM=60°，
∴BM=$\frac{FM}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF×$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$CF，
∵BC=CM+BM=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+$\frac{\sqrt{6}}{6}$CF=6$\sqrt{2}$，
解得：CF=18-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，首先根据实际问题建立三角形模型，本题的三角形不是直角三角形，还要添加辅助线构造直角三角形，然后利用解决三角形知识解决问题．