Question

已知二次函数y=-x²-2x+3，
（1）求抛物线的开口方向，对称轴和顶点M的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求A、B、C的坐标；
（3）画出函数图象的示意图；
（4）求△MAB的周长及面积；
（5）当x为何值时，y随x的增大而减小；当x为何值时，y有最大（小）值，并求出这个最大（小）值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征求自变量为0时的函数值和求函数值为0时的自变量的值即可；
（3）利用描点法画函数图象；
（4）利用勾股定理计算MA和MB，再利用三角形周长定义和面积公式求解；
（5）根据图象和二次函数的性质求解．

解答：解：（1）y=-（x+1）²+4，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点M的坐标为（-1，4）；
（2）当x=0时，y=3，则C点坐标为（0，3）；
当y=0时，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，则A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0）；
（3）如图；
（4）AM=

(-3+1)2+42

=2

5

，BM=2

5

，AB=1+3=4，
所以△MAB的周长=2

5

+2

5

+4=4

5

+4；
△MAB的面积=

1

2

×4×4=8；
（5）当x＞-1时，y随x的增大而减小；
当x=-1时，y有最大值，最大值为4．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．