题目内容

【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图：已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1=∠2，FG⊥AB
于点G，求证：△CDE≌△EGF．
（1）阅读理解，完成解答
本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；

（2）特殊位置，证明结论
若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE=BF；
（3）知识迁移，探究发现
如图，已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC=EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）先证明CE=EF，根据AAS即可证明△CDE≌△EGF；
（2）先证∠ACE=∠2，再证明△ACE≌△BEF，即可得出AE=BF；
（3）作EH⊥BC与H，设DE=x，求出AE=3x，再证出BF=
2
x，即可得出结论．
解答： （1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=45°，
∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1，∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2，∠1=∠2，
∴∠ECF=∠EFC，
∴CE=EF，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴∠CDE=∠EGF=90°，
在△CDE和△EGF中，
∠1=∠2 
∠CDE=∠EGF 
CE=EF 
，
∴△CDE≌△EGF（AAS）；
（2）证明：由（1）得：CE=EF，∠A=∠B，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠ACE=∠2，
在△ACE和△BEF中，
∠A=∠B 
∠ACE=∠2 
CE=EF 
，
∴△ACE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF；
（3）AE=
3
2
2
BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：
设DE=x，根据题意得：BE=DE=x，AD=BD=2x，CD=AD=2x，AE=3x，
根据勾股定理得：BC=AC=2
2
x，
∵∠ABC=45°，EH⊥BC，
∴BH=
2
2
x，
∴CH=BC-BH=
3
2
2
x，
∵EC=EF，
∴FH=CH=
3
2
2
x，
∴BF=
3
2
2
x-
2
2
x=
2
x，
∴
AE
BF
=
3x
2
x
=
3
2
2
，
∴AE=
3
2
2
BF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
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2
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．
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，相反数为
 
．
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