Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=

5

，求BE的值．

Answer 1

考点：解直角三角形,直角三角形斜边上的中线

专题：几何图形问题

分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：

5

，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：

5

，再由AB=2

5

，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=

5

CH，
∴CH：AC=1：

5

，
∴sinB=

5

5

；

（2）∵sinB=

5

5

，
∴AC：AB=1：

5

，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB=

5

5

=

1

5

，
设CE=x（x＞0），则AE=

5

x，则x²+2²=（

5

x）²，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∵AB=2CD=2

5

，
∴BC=4，
∴BE=BC-CE=3．

点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．