Question

9．某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

Answer 1

分析 首先表示出AF的长，进而得出BC的长，再表示出CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），利用EB=BC+CE求出答案．

解答 解：过点A作AF⊥DE，设DF=x，
在Rt△ADF中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$x，
AC的坡度i=1：2，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴BC=4，
∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF=AB=2，BE=AF，
∴DE=DF+EF=x+2，
在Rt△DCE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{CE}$，
∵∠DCE=60°，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
∵EB=BC+CE=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）+4=$\sqrt{3}$x，
∴x=1+2$\sqrt{3}$，
∴DE=3+2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．