Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且∠AEC=

1

2

∠ADC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．
（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠AEC=∠1，得出AE∥BD，再由AB∥EC证出四边形ABDE是平行四边形．
（2）在Rt△BDC中，求出BD，再在在等腰△ADB中求出DH，AH，在Rt△ABH中求出AB，进而求出四边形的四条边求周长．

解答：解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ADC，
又∵∠AEC=

1

2

∠ADC，
∴∠AEC=∠1，
∴AE∥BD，
又∵AB∥EC，
∴四边形AEDB是平行四边形；?
（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AD=AB，
又∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
在Rt△BDC中，CD=12，
∴BC=6，DB=6

3

，
在等腰△ADB中，AH⊥BD，
∴DH=BH=

1

2

DB=3

3

，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=3，AB=6，
∵四边形AEDB是平行四边形，?
∴AE=BD=6

3

，ED=AB=6，
∴AE+ED+DH+AH=9

3

+9，
∴四边形AEDH的周长为9

3

+9．

点评：本题主要考查平行四边形的判定及性质，解题的过程中要灵活运用直角三角形来求边．