Question

17．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，$\frac{PE}{PF}$的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质找出∠B=∠C=90°，再通过角的计算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；
（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°．
∵∠MPN=90°，
∴∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD．
故答案为：∽．
（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，
∵矩形ABCD中，AB=2，
∴∠B=∠FHP=90°，HF=AB=2，
∴∠BPE+∠BEP=90°．
∵∠MPN=90°，
∴∠BPE+∠HPE=90°，
∴∠BEP=∠HPF，
∴△BEP∽△HPF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{BP}{HF}$，
∵BP=1，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{1}{2}$．
（3）分两种情况：
①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．
∵AE=t，AB=2，
∴BE=2-t．
由（2）可知：△BEP∽△HPE，
∴$\frac{BE}{HP}=\frac{PE}{PF}$，即$\frac{2-t}{HP}=\frac{1}{2}$，
∴HP=4-2t．
∵AF=BH=PB+BH=5-2t，
∴S=S_矩形ABHF-S_△AEF-S_△BEP-S_△PHF=AB•AF-$\frac{1}{2}$AE•AF-$\frac{1}{2}$BE•PB-$\frac{1}{2}$PH•FH=t²-4t+5（0≤t≤2）．
当S=4.2时，t²-4t+5=4.2，
解得：t=2±$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．
∵0≤t≤2，
∴t=2-$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；
②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，
∵AE=t，BP=1，
∴PK=1-t．
同理可证：△PKE∽△FCP，
∴$\frac{PK}{FC}=\frac{PE}{PF}$，即$\frac{1-t}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴FC=2-2t．
∴DF=CD-FC=2t，DE=AD-AE=5-t，
∴S=S_矩形EKCD-S_△EKP-S_△EDF-S_△PCF=CD•DE-$\frac{1}{2}$EK•KP-$\frac{1}{2}$DE•DF-$\frac{1}{2}$PC•FC=t²-2t+5（0≤t≤1）．
当S=4.2时，t²-2t+5=4.2，
解得：t=1±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵0≤t≤1，
∴t=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
综上所述：当点E在AB上时，S=t²-4t+5（0≤t≤2），当S=4.2时，t=2-$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；当点E在AD上时，S=t²-2t+5（0≤t≤1），当S=4.2时，t=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出$\frac{PE}{PF}=\frac{BP}{HF}$；（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．