题目内容
4、若n是正整数，记1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，则M的约数中是完全平方数的共有（ ）
分析：首先把M写成M=230×313×55×73，然后分别讨论230、313、55和73含有的平方数约数，最后求出M含有平方数约数．
解答：解：∵M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，
∴M=1×28×37×46×55×64×73×82×91，
M=230×313×55×73，
因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的，
如25=52，144=24×32，
所以230含有的平方数约数有20、22、24…230共16个，
313含有的平方数约数有30、32、34…312共7个，
55含有的平方数约数有50、52、54共3个，
73含有的平方数约数有70、72共2个，
所以M含有平方数约数为16×7×3×2=672，
故选B．
∴M=1×28×37×46×55×64×73×82×91，
M=230×313×55×73，
因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的，
如25=52，144=24×32，
所以230含有的平方数约数有20、22、24…230共16个，
313含有的平方数约数有30、32、34…312共7个，
55含有的平方数约数有50、52、54共3个，
73含有的平方数约数有70、72共2个，
所以M含有平方数约数为16×7×3×2=672，
故选B．
点评：本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是把M分解成M=230×313×55×73的形式，此题难度较大．
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