Question

如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的基础上试探索：
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a（x﹣）²+k．
把A，B两点坐标代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故抛物线解析式为y=（x﹣）²﹣，顶点为（，﹣）；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）²=，
∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2××OA·|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）²+25．
∵抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
∴自变量x的取值范围是1＜x＜6；
（3）①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）²+25=24．
化简，得（x﹣）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的点E有两个，
分别为E₁（3，﹣4），E₂（4，﹣4），
点E₁（3，﹣4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E₂（4，﹣4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，
平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，﹣3），
而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．