Question

4．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=kx+3．
（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；
（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D的坐标，把D的坐标代入解析式即可求出k的值；
（2）把B的坐标代入求出K的值，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，过D点作DE⊥y轴，

则∠AED=∠1+∠2=90°．
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
又∵∠AOB=∠AED=90°，
在△AED和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AOB}\\{∠2=∠3}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BOA，
∴DE=AO=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D点坐标为（4，7），
把D（4，7）代入y=kx+3，得k=1；

（2）当直线y=kx+3过B点时，把（3，0）代入得：0=3k+3，
解得：k=-1．
所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是k＞-1．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，能求出D的坐标是解此题的关键，难度偏大．