Question

8．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图2．则使△AGH是等腰三角形的CG的长为9或$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 采用分类讨论的思想，当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，当CG=$\frac{1}{2}$BC时，当CG＞$\frac{1}{2}$BC时分别得出即可．

解答 解：①当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
②当CG=$\frac{1}{2}$BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，
此时，GC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$；
③当CG＞$\frac{1}{2}$BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若G′H=AH，则AC=CG′，此时x=9，
如图，当CG′=BC时，
注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，
此时B，E，G重合，∠AG′H=∠G′AH=45°，
∴△AG′H为等腰三角形，所以CG′=9$\sqrt{2}$．
综上所述，当CG的长为9或$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$时，△AGH是等腰三角形．
故答案为：9或$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识，正确利用分类讨论得出是解题关键．