Question

2．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE=2，试求AP•AF的值．

Answer 1

分析 （1）依据等边三角形的性质得到AB=AC，∠C=∠CAB，然后依据SAS可证明△ABE≌△CAF，依据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAF，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明△APE∽△ACF，依据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AF}$，从而可得到问题的答案．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠C=∠CAB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF，
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°，
∴∠APB=180°-∠APE=120°　
（2）∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AP}{6}$=$\frac{2}{AF}$，
∴AP•AF=12．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．